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Primzahlen - Prime Numbers
Primzahlen P sind natürliche Zahlen, welche man nur durch eins und sich selbst, ohne Rest teilen kann.
Beispiel: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Alle Primzahlen größer 2 sind ungerade, also von der Form 2k+1.
Siehe Tabelle auf der rechten Seite.
Ist 1 eine Primzahl?
Ich habe die Primzahlen hier so definiert, das 1 eine Primzahl ist.
In der Mathematik werden in der Regel die Primzahlen aber so definiert, das 1 keine Primzahl ist!
Man hat es dann bei abstrakten Beweisen und bei der Formulierung von Sätzen aus der Zahlentheorie leichter.
Beispiel: Die Primfaktorenzerlegung einer ganzen Zahl ist nicht eindeutig wenn 1 eine Primzahl ist:
6 = 2*3 = 1*2*3 = 1*1*2*3 .. etc.
Folglich hat die 1 auch keine Primfaktorenzerlegung, da sie keinen Faktor enthält, der eine Primzahl ist.
Menge der Primzahlen
Für die Menge der Primzahlen wird in der Mathematik das folgende Symbol verwendet:
Die 1 ist bei dieser Definition keine Primzahlen.
Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist eine effektive Methode um die Primzahlen, in einem
Bereich von 1 bis n, zu bestimmen. Dabei werden alle nicht Primzahlen aus diesem Bereicht entfernt und die
Primzahlen bleiben übrig. Diese Verfahren wird für die Bestimmung der Primzahlen in
den Tabellen auf dieser Seite angewendet.
Es gibt unendlich viele Primzahlen - (Satz des Euklid)
Kennt man von 1 bis Pn alle Primzahlen, so ist das Produkt dieser Primzahlen plus 1, wieder eine
Primzahl.
P = P1P2 ... Pn + 1
Zwischen P und Pn können weitere Primzahlen liegen. Dies ist also keine Formel,
mit der sich alle Primzahlen berechnen lassen.
Man muss also jede einzelne Zahl darauf hin untersuchen, ob diese sich nur durch 1
oder sich selber teilen läßt, um festzustellen ob es eine Primzahl ist.
Beispiele:
2 * 3 + 1
=
7
2 * 3 * 5 + 1
=
31
2 * 3 * 5 * 7 + 1
=
211
2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1
=
2311
Mit Hilfe des Produktes der ersten n Primzahlen hat man eine Möglichkeit die Lücken zwischen Primzahlen zu
Visualisieren. Ordnet man z.B die natürlichen Zahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 2310 an so werden
die Lücken zwischen den einzelnen Primzahlen deutlich.
In den Tabellen auf diser Seite habe ich die ersten natürlichen Zahlen
auf unterschiedliche Art angeordnet.
Primzahlen habe in diesen Tabellen einen grauen Hintergrund.
Damit lassen sich Muster in der Primzahlenverteilung leichter erkennen.
Ganze Zahlen lassen sich in Primfaktoren zerlegen (Fundamentalsatz der Zahlentheorie). Diese Zerlegung ist bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Primzahlen Tabellen - Rechteckige Anordnung der Primzahlen - Rectangle Pattern
Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in verschiedenen Tabellen, mit unterschiedlicher Breite dargestellt.
Je nach Tabelle ergeben sich unterschiedliche Muster. Achtung bei großen Tabellen können ältere Browser Probleme bei der Berechnung der Tabellen
bekommen!
Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 30 Zahlen dargestellt.
Man sieht deutlich, das die Primzahlen nur noch in bestimmten Spalten auftreten.
Auf der folgenden Seite sind die Primzahlen in einer Tabelle mit einer Breite von 210 Zahlen dargestellt. Auch hier sieht man, das die Primzahlen
nur in bestimmten Spalten auftreten.
In der nachfolgenden Tabelle sind die Zahlen spiralförmig angeordnet.
Die Eins steht im Zentrum und die anderen Zahlen werden, in aufsteigender Reihenfolge, um die Eins
herum angeordnet. Dabei ergeben sich Muster in der Primzahlenverteilung.
Eine solche Sprirale wurde erstmals 1963 von dem polnischen Mathematiker Stanislaw Marcin Ulam entdeckt.
Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form: M = 2n-1.
Mersenne-Zahlen eignen sich besonders für die Suche nach großen Primzahlen.
Die derzeit größte, bekannte Primzahl 243.112.609 - 1 (entdeckt am 23. August 2008),
ist eine Mersenne-Primzahl
Wenn die Mersenne-Zahl selber eine Primzahl MP ist, so folgt daraus, das auch n eine Primzahl p ist.
Es gilt also: MP = 2p-1 wenn MP eine Primzahl ist. Wenn nur p eine Primzahl ist
so folgt daraus nicht, dass die Mersennezahl MP eine Primzahl ist. Siehe Tabelle:
Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.
Schwache Goldbachsche Vermutung
Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden.
Gilbreaths Vermutung - Gilbreath's Conjecture
Gilbreaths Vermutung ist benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Norman L. Gilbreath.
Im Englischen auch bekannt als "Gilbreath's Conjecture"
Gilbreath berechnete eine Tabelle mit der Hilfe von Primzahlen. In der ersten Reihe der Tabelle schrieb er die
Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge nieder. In der zweiten Reihe notierte der die Differenzen zwischen den Primzahlen der ersten Zeile.
In den darauffolgenden Zeilen wurden die Beträge der Differenzen der vorherigen Zeile notiert. Dabei zeigte sich, dass in der ersten
Spalte der Zeilen mit den Differenzen immer eine Eins steht.
Niemand konnte bisher eine Ausnahme von dieser Eigenschaft finden, obwohl mehrere Milliarden Zeilen mit der Hilfe von Computern untersucht wurden.
In der ersten Zeile stand immer eine Eins. Ein Beweis für diese Vermutung, konnte bis heute noch nicht gefunden werden.
Auf der folgenden Seite gibt es eine größere Tabelle mit mehr Primzahlen, in dehnen die Struktur der Differenzbildung
detailliert dargestellt wird.
Die Riemannsche Zetafunktion ist für komplexe Zahlen s = x + iy wie folgt definiert:
Die Summe konvergiert wenn der Realteil von s größer als 1 ist Re(s)>1. Die Riemannsche Zetafunktion besitzt für den Wert s = 1 eine Polstelle.
Das heißt für diesen Wert ist die Funktion nicht definiert.
Eine wichtige Eigenschaft der Riemannschen Zetafunktion ist ihre Beziehung zu den Primzahlen. Über die Eulersche Produktentwicklung gibt es eine alternative Darstellungsmöglichkeit der Riemannschen Zetafunktion.
Bei dieser Darstellung werden die Primzahlen bei der Entwicklung der Funktion verwendet.
Dabei wir das Produkt über alle Primzahlen gebildet (alle p aus der Menge ).
Riemannsche Zetafunktion und Eulerscher Gammafunktion
Mit Hilfe der Riemannschen Zetafunktion und der Eulerschen Gammafunktion läßt sich die folgende Funktionalgleichung aufstellen:
Mit der Hilfe von Funktionalgleichungen ist es möglich den Definitionsbereich der Riemanschen Zetafunktion auf die gesampte Komplexe Ebene, (mit Ausnahme der Polstelle bei s = 1) zu erweitern.
Die Riemansche Zetafunktion wird durch diese Erweiterungen zu einer meromorphen Funktion.
An den Stellen wo auf der linken Seite des Ausdrucks der Wert s steht, steht auf der rechten Seite der Wert 1 - s. Man beachte die Symmetrie dieser Funktionalgleichung um den Wert s = 1/2!
Riemansche Vermutung
Abgesehen von den sogenanten trivialen Nullstellen der Riemanschen Zetafunktion bei s = -2, -4, -6, -8, ...,
befinden sich alle weiteren Nullstellen auf einer einzigen Geraden in der komplexen Ebene.
Diese Gerade wird als kritische Gerade bezeichnet. Diese Gerade ist dadurch definiert, das ihr Realteil immer gleich 1/2 ist.
Kritische Gerade:
Ein Beweis für diese Aussage steht bis heute noch aus.
Die Primzahlenfunktion
Die Primzahlenfunktion gibt die Anzahl der Primzahlen an, die kleiner als eine positive reele Zahl x sind.
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