Primzahlenfakultät - Primorial
Es gibt den Begriff der Fakultät einer natürlichen Zahl n!. Verwendet man anstelle der natürlichen Zahlen Primzahlen so findet man die Begriffe: Primzahlenfakultät, Primorial und Primfakultät. Da diese Begriffe immerwieder etwas anders definiert sind, verwende ich diese wie folgt:
- Primorial <=> Primzahlenfakultät (Premorial first definition).
- Primfakultät (Primorial second definition).
Siehe auch genaue Definitionen weiter unten.
Primzahlenfakultät - Primorial I
Die Primzahlenfakultät wird auch als Primorial bezeichnet.
Englische Bezeichnung
Die Folge der Primzahlfakultäten hat die OEIS Nummer A002110 und hat dort den Namen: "Primorial numbers (first definition)".
Die Abkürzung OEIS steht für "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences - OEIS".
Definition und Bezeichnung
Die Primzahlenfakultät Pn# ist das Produkt der ersten Primzahlen Pi von 2 bis Pn bzw. i von 1 bis n.
Pn# = 2⋅3⋅...⋅Pn;
Tabelle der Primzahlenfakultäten
Relation zur Eulerschen Zahl e
Durch Logarithmieren ergibt sich das folgende asymptotische Verhalten:
Euklidische Zahlen
Die Primzahlenfakultät steht in engem Zusammenhang mit den Euklidischen Zahlen En.
En=Pn#+1;
Eine Tabelle der ersten 100 Euklidischen Zahlen findet man hier:
Kummer-Zahl
Kn=Pn#-1;
Die Kummer-Zahl wir auch als Euklidische Zahl der zweiten Art bezeichnet.
Primfakultät - Primorial II
Die Primfakultät ist die Folge A034386 in der OEIS. Diese Folge hat dort den Namen: "Primorial numbers (second definition)".
Definition und Bezeichnung
Die Primfakultät n# einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich n.n# = 2⋅3⋅...⋅Pk mit Pk≤n;
Da die kleinste Primzahl die 2 ist, man die Primfakultät n# aber auch für die Werte 0# und 1# definieren möchte, ist es Konvention 0#=1 zu setzen und für 1#=1 zu verwenden.
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
n# | 1 | 1 | 2 | 6 | 6 | 30 | 30 | 210 | 210 | 210 | 210 | 2310 | 2310 | 30030 |
Tschebyschew θ-Funktion
Tchebyschew's θ-Funktion ist der Logarithmus der Primfakultät.
θ(n) = ln(n#)
Durch den Logarithmus kann das Produkt durch eine Summe ersetzt werden.